La ubicuidad de π

Recientemente se estrenó la película The Man Who Knew Infinity (2015), inspirada en la vida del prodigio en matemáticas indio Srinivasa Aiyangar Ramanujan. El film se basa a su vez en la biografía del mismo título de Robert Kanigel y se centra más que nada en la relación de Ramanujan con el matemático inglés G. H. Hardy.[1. Robert Kanigel, [amazon ASIN=”0349104522″]The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan[/amazon] (New York: Macmillan, 1991).] Por cierto, existe otro libro de ficción que también se inspira en la relación de Ramanujan y Hardy, su título es The Indian Clerk, del autor estadounidense David Leavitt.[2. David Leavitt, [amazon ASIN=”1596910402″]The Indian Clerk: A Novel[/amazon] (New York: Bloomsbury, 2007).]

Ramanujan es un personaje súper interesante. Nació en un hogar humilde del pueblo de Erode, ubicado en las cercanías de Madrás, hoy Chennai, en 1887. Su familia pertenecía a la distinguida casta de los brahmanes, a la que solían pertenecer los guerreros, sacerdotes  y comerciantes hindúes. Sin embargo, la suya estaba lejos de pertenecer a las familias de las élites de Erode o de Kumbakonam, donde su familia se mudaría más tarde y donde el padre Srinivasa Lyengar trabajara como un empleado de una tienda de telas mientras su madre Kombalatammal atendía el humilde hogar.

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Srinivasa Ramanujan. Photo by Konrad Jacobs. Wikimedia Commons. (CC BY-SA 2.0 DE)

Mi conocimiento de Ramanujan viene de mis primeras lecturas en la biblioteca pública de mi pueblo natal, Punto Fijo, Venezuela. Sin embargo, pudiera decir que a Ramanujan tuve la oportunidad de descubrirlo dos veces: una en mi niñez, cuando lo que me atrajo de él fue la fascinante historia de un genio precoz que revolucionó las matemáticas como un autodidacta; la otra, ya un adulto, en mis años de la universidad, cuando de la mano de un excelente profesor me adentré en el increíble mundo de las series infinitas y de los números complejos que fascinaron al mismo Ramanujan casi un siglo antes.

Como decía, mi primer encuentro con Srinivasa Ramanujan ocurrió cuando yo era muy joven, posiblemente entre los 11 o 12 años, en una biblioteca pública de provincia del noroeste de Venezuela. Entre mis lecturas favoritas, las biografías siempre han estado al tope de la lista. Recuerdo que fue en una colección de biografías de varios tomos donde encontré por primera vez la historia de la vida de Ramanujan. Era una entrada de unas seis u ocho páginas, acompañada por la foto de un hombre diminuto, moreno y de ojos profundos y enigmáticos. Su historia me fascinó de inmediato.

Al comienzo de mi vida siempre tuve que compensar mi limitada educación de forma independiente; de manera que cuando leí que este genio había aprendido las formas más complejas de matemáticas de su tiempo, prácticamente por su cuenta, era inevitable que me fascinara de inmediato. Luego, mi maravilla aumentó cuando descubrí que una carta fortuita enviada a un viejo profesor solterón de la Inglaterra victoriana, le había abierto las puertas de la prestigiosa Universidad de Cambridge, llevándolo en un viaje de cenicienta de Madrás a esa famosa universidad. Luego, mi fascinación sólo aumentó al conocer de su su muerte prematura, unos pocos años después de su regreso a Madrás, convaleciente de tuberculosis. En cierta forma la vida cuadrada bien con aquella foto enigmática que mencioné antes. Sus ojos expresaban un tristeza casi tan infinita como las series que inspiraron su genio. De hecho, recuerdo que hice una fotocopia de la foto para colocarla en mi altar personal de la casa, mi egolario — una pared de mi cuarto donde colocaba fotocopias de fotografías de hombres y mujeres cuyas vidas me inspiraban respeto y admiración.

Mi segundo encuentro con Ramanujan ocurrió muchos años más tarde, esta vez en la universidad. En ese entonces estudiaba el tercer año de ingeniería eléctrica, así que para ganar tiempo había decidido tomar una materia de cálculo de variables complejas en el curso de verano. La clase la daba un profesor muy simpático, de baja estatura y mirada eléctrica, que se llamaba Darío Castellanos. Recuerdo que en una de sus clases, mientras hablábamos de series infinitas, el profesor nos contó la historia de este oficinista de la India que había descubierto una forma de calcular el número de Pi (\pi ) usando una serie infinita muy ingeniosa. Al escucharlo, recordé de inmediato la foto de aquel hombrecito de ojos oscuros y enigmáticos sobre el que había leído muchos años atrás. Al final de la clase me acerqué al profesor y le comenté sobre mi lectura. Sorprendido de que alguien más compartiera su interés por el genio de Madrás, de inmediato me invitó a su casa para conversar más sobre él — lo que hice algunos días después.

Resulta que algunos años antes, Castellanos había escrito un artículo, una suerte de biografía, sobre el número \pi. Con el título “El ubicuo \pi ”, el artículo había sido publicado — en dos partes — por la prestigiosa Mathematics Magazine, la revista insignia de la American Mathematical Society, en 1988.[3. Ver Dario Castellanos, “The Ubiquitous Pi”, Mathematics Magazine  61.2 (Apr. 1988), 67-98; y “The Ubiquitous Pi”, Mathematics Magazine 61. 3 (Jun. 1988), 148-163, <http://www.jstor.org.prox.lib.ncsu.edu/stable/2689713>.] El  artículo había sido una suerte de best seller en su momento. Tanto así que el mismo New York Times le había dedicado un comentario en otro artículo escrito por el periodista y fotógrafo estadounidense Malcolm W. Browne, precisamente, sobre el número \pi .

Aunque, como nos dice Castellanos en su artículo, los seres humanos nos percatamos de la presencia de círculos hace mucho tiempo atrás — el sol y la luna son sólo dos ejemplos obvios de círculos con los que nuestros ancestros debía estar familiarizados — no fue sino hasta recientemente, en términos relativos, que el hombre descubrió la existencia de una relación constante entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Existe evidencia de que los egipcios ya conocían esta relación constante desde la antigüedad, pero no fue sino hasta el siglo V antes de la era cristiana que el griego Hipócrates de Quíos fue capaz de expresarla matemáticamente, usando la muy conocida fórmula — que todos estudiamos en bachillerato — que dice que el área de un círculo es igual a una constante (\pi ) por el diámetro al cuadrado (r^{2} ).

Pero \pi no es una constante cualquiera (en lo que sigue uso el artículo de Castellanos como fuente principal). Más tarde se descubriría que este número tiene propiedades especiales, que no es como los otros números que usamos para calcular con las manos, por ejemplo. El problema es que \pi no es un entero, ni un número real, sino otra cosa que los griegos denominaron, con cierta ironía poética, un número inexpresable (alogos) o, dicho de otra forma, un número irracional. Los números irracionales se caracterizan por no poder expresarse como una fracción de números enteros así como por por tener decimales finitos. Por ejemplo, el número 0,5 es racional porque es finito — un único decimal, el número 5 — y puede representarse como \frac{3}{2}; así mismo, el número 3,33333\ldots aunque tiene una parte decimal infinita — es decir, su parte decimal tiene infinitos 3 –, es racional porque puede expresarse como una fracción: \frac {10}{3}. El ubiquo \pi en cambio consiste de una serie de decimales que ni termina ni se repite. De allí la famosa serie de números que aprendemos en el liceo: 3,14159265359\ldots, y así hasta el infinito.

Después de los griegos, muchos matemáticos intentaron determinar un método con el que calcular \pi . Los chinos tenían muy buenos métodos para aproximar \pi , pero no fue sino hasta el siglo XVI que un matemático francés, François Viète, desarrolló la primera fórmula analítica que conocemos para calcular el valor de \pi :[4. Todas las ecuaciones y fórmulas han sido generadas con WP Latex.]

\frac {2} {\pi} = \sqrt {\frac {1} {2}} \times \sqrt { \frac {1} {2} + \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{1}{2}}} \times \sqrt { \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{1}{2}}}}

A Viète le siguió el alemán Leonhard Euler, uno de los matemáticos más prolíficos del siglo XVII. Euler desarrolló una fórmula con la que calculó hasta 15 decimales para \pi :

\pi = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{1}{n} + \frac {1}{6 \times n^2} + 4 \times n \times \left (\frac{1}{n^2+1^2} + \frac {1}{n^2 + 2^2} + \ldots + \frac{1}{n^2+n^2} \right ) \right ]

Ahora bien, para calcular \pi no es necesario usar fórmulas tan complicadas como las de Viète o Euler. Ya en el siglo XV y XVI, varios habían desarrollados aproximaciones expresables en forma de fracciones, como \frac {355}{113}=3,141592920, desarrollada, según nos cuenta Castellanos, con una suerte de ‘abracadabra’: se escriben los primeros tres impares en pares: 1,1,3,3,5,5 y luego se colocan los últimos tres arriba y los primeros tres abajo para formar \frac {355}{113}.

Un método similar fue el que desarrolló Ramanujan. Según cuenta Castellanos, el indio se dio cuenta que si la cuarta potencia de \pi\pi^4 = 97,40909108 ) se resta de 97,5, el resultado (0,090908920) es muy similar al inverso de 11 (\frac {1}{11} = 0,090909091). Por lo tanto, Ramanujan concluyó que

{(97,5-(\frac {1}{11}) )}^{\frac{1}{4}}= 3,14159265258\ldots

Por supuesto, cuando Castellanos nos mencionó a Ramanujan en la clase, olvidó decirnos que él mismo había extendido el trabajo del indio, desarrollando varias fórmulas que aproximaban el valor de \pi de forma más exacta, como esta por ejemplo:

\left (100 - \frac {2125^3+214^3+30^3+372} {82^5} \right )^{\frac{1}{4}}=3,141592653589780\ldots

Este valor es más pequeño que \pi por sólo \frac {10}{14}.

Pero la contribución más interesante de Ramanujan no fue esta forma de aproximar \pi sino una fórmula analítica expresada en series infinitas, que fue lo que motivara la conversación con Castellanos inicialmente:

\frac {1} {\pi} = \frac {2 \sqrt{2}}{9801} \sum_{k=0}^{\infty} \frac { \left ( 4k \right )! \left ( 1103 + 26390k \right )} { \left ( k! \right )^{4} \left ( 396 \right )^{4k} }

Ramanujan desarrolló su interés en \pi durante su tiempo en la secundaria. Fue allí donde él, totalmente por su cuenta, desarrolló varias series infinitas que permiten calcular \pi con hasta 17 decimales. Por cierto, también durante la secundaria, el joven Ramanujan desarrolló  otras fórmulas para calcular el número \pi usando integrales. En este caso, su trabajo con integrales y \pi lo llevó a descubrir la ecuación:

e^{i \times x} = \cos x - i \times \sin x, i = \sqrt {-1}

Esta ecuación es una de las ecuaciones más famosas (y útiles) de las matemáticas y se llama la fórmula de Euler — la misma es muy importante en el mundo de las telecomunicaciones, para el análisis de señales, así como para resolver complejas ecuaciones que se aplican en muchas ramas de las ciencias e ingeniería.

La historia dice que cuando Ramanujan se enteró que él no había sido el primero en descubrir esta fórmula — el primero fue por supuesto Euler en 1740 — sintió tanta rabia que escondió las notas donde había desarrollado sus fórmulas en el techo de su casa en Kumbakonam, donde fueron descubiertas años después de su muerte en 1920.

Para mí, el nombre Ramanujan no sólo me recuerda aquella fotografía que mencioné más arriba, la historia de este genio de las matemáticas que cautivó la imaginación de un país (Inglaterra) a principios del siglo XX, sino también el recuerdo de ese otro genio más cercano a mi experiencia personal que ya he mencionado: el querido profesor Darío Castellanos. Ambos fueron individuos muy brillantes que nacieron en circunstancias no siempre idóneas pero que tuvieron la oportunidad de salir de sus contextos y limitaciones particulares para avanzar cada uno en carreras donde pudieron destacar con sus talentos.

En el caso de Ramanujan, como se muestra en la película, una carta afortunada al matemático victoriano G.H. Hardy le facilitó su ingreso al mundo de las matemáticas de alto vuelo de la Universidad de Cambridge, lugar donde se llevó a cabo una colaboración extraordinaria entre el indio y el inglés, al punto que este último calificara esa relación como el “único incidente romántico” de su vida.

Castellanos, quien nació también en un hogar pobre — no en Madrás, India, sino en Valencia, Venezuela –, obtuvo una beca para estudiar en la Universidad de Florida y luego en Michigan, donde culminara su doctorado en ingeniería eléctrica y luego trabajaría por un tiempo en un laboratorio que tenía contratos con la NASA.

De Michigan, Castellanos regresó a Venezuela donde ejerció como docente en la Universidad Central de Venezuela en Caracas, la capital del país. Luego, la vida lo regresó a su Valencia natal para ingresar a la recientemente reabierta Universidad de Carabobo (UC), donde sería uno de los profesores titulares más jóvenes e ilustres de esta institución.

En la UC, Castellanos no sólo se dedicó a la docencia y a la investigación — en una oportunidad nos dijo en privado que la institución era idónea para el trabajo del matemático puro ya que no existía la misma presión carrerista como la que caracteriza las instituciones anglosajonas, donde se publica con frecuencia o nunca se destaca — sino que también fue una figura pública — un intelectual público — que escribía una columna semanal en El Carabobeño, un diario local, sobre ciencia, matemáticas e incluso sobre política y cultura en general.[5. Hay una colección de estos artículos publicadas por la UC como Crónicas del manantial (Valencia, Vzla: Universidad de Carabobo, 1995).]

Fue en esa columna en la que Castellanos introdujo al lector valenciano la historia de Ramanujan, en un breve artículo titulado “Se llamaba Srinivasa Ramanujan”.[5. Ver Darío Castellanos, Crónicas del manantial (Valencia, Vzla: Universidad de Carabobo, 1995), 289-294.] Allí se presentan en forma muy sucinta algunos detalles de la vida del matemático indio, en particular la carta que le enviara a Hardy en la que se incluían varios teoremas que impresionaron mucho a este último. Se dice, así lo relata Castellanos, que cuando Hardy recibió los teoremas del indio estuvo tan impresionado que no pudo renegar de lo que veía; aunque no sabía nada de su autor, le parecía que los mismos eran tan profundos que sólo un genio verdadero podía haberlos creado: nadie más podía haber tenido tal imaginación para inventar todo de la nada, concluyó Hardy.

En ese mismo artículo Castellanos nos habla de la íntima relación que Ramanujan parecía tener con algunos números, particularmente con \pi . También relata como la fórmula para estimar \pi desarrollada por Ramanujan había sido utilizada por un grupo de matemáticos de la Universidad de Columbia para estimar su valor hasta un millardo de cifras — 1.011.196.691 cifras, para ser más exactos.

Castellanos termina su columna con una anécdota que demuestra la humildad y bondad del matemático indio. Poco antes de morir, Ramanujan recibió un estipendio que le asignara la Universidad de Madrás. La cifra le pareció excesiva, así que él dispuso que parte del mismo se le diera a sus padres — él era hijo único — y el resto se usara para pagar la matrícula de niños huérfanos para que pudieran asistir a la escuela. Castellanos hizo algo parecido. Luego de su muerte en 1996, su biblioteca fue donada por instrucciones suyas a la UC, donde tuve oportunidad de consultarla algunas veces hace muchos años.[6. Como dato curioso, Castellanos también discute en su artículo sobre \pi la interesante propiedad del número 666 , el llamado “número de la bestia” mencionado en la Biblia (Apocalipsis 13:15–18). De acuerdo con Michael Keith, 666 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2 + 13^2 + 17^2; es decir, 666 es igual a la suma de los cuadrados de los primeros siete números primos — recuérdese que los primos son aquellos números divisibles sólo por 1 y por sí mismos. ¡Qué propiedad más interesante! El “número de la bestia” es de hecho una reafirmación de la independencia humana — siendo los primos los números más independientes e individuales que hay–, siete veces y al cuadrado. Ver Castellanos, “The Ubiquitous Pi”, 154.]